V-Jornadas de las Ciencias.2014-Cubo de Sierpinski

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. EXPLICACIÓN DE LA EXPERIENCIA: En el cubo fractal aparecen figuras de una complejidad infinita. Por mucho que aumentemos la figura de cada cara, siguen existiendo detalles que recuerdan a la forma total. Fractal deriva del latín “fractus”, roto, creado con fragmentos. Algunos objetos fractales aparecen en los esquemas del flujo sanguíneo, de los pulmones, de los riñones, en la coliflor, en el brócoli, en diseños trabajados por ordenador, etc. Las seis caras del cubo nos introducen en objetos semi-geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas, por mucho que nos acerquemos o nos alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura, seremos incapaces de afirmar la distancia a la que nos encontramos de él.          PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA: · Observar cada una de las caras del cubo de forma que seamos capaces de descubrir con una pequeña porción del objeto se es capaz de reproducirlo todo. · Averigua el objeto fractal de cada una de las caras Adéntrate:                     D I M E N S I Ó N   F R A C T A L   Esponja de Menger: La llamada “esponja de Menger” es un fractal cuyo proceso de construcción parte de un cubo, eliminando a cada paso cubos menores siempre del mismo modo. Presenta la curiosa propiedad de tener una superficie infinita y un volumen cero; no tiene interior ni exterior. Este maravilloso queso está tan agujereado que no alcanza a tener tres dimensiones. En la actualidad se fabrican antenas fractales basadas en este asombroso objeto. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo divide en otros 9, iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el número de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, eso es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales. ¿Cómo puede ser que a partir de una figura de 3 dimensiones como es un cubo obtengamos un “monstruo” de dimensión ligeramente menor? El secreto se encuentra en el infinito. En efecto, si solo repitiésemos el proceso de construcción de la esponja un número finito de veces, seguiríamos teniendo una cantidad finita de cubos. Pero al aplicar indefinidamente el mecanismo propuesto por Menger obtenemos el cubo inicial horadado una y otra vez por una “red de tubos prismáticos de sección cuadrada” cada vez más pequeños, que conforman una red interna similar a la que conforman nuestros capilares, venas y arterias, pero infinitamente más compleja. Lo que era un cubo se ha convertido en una colección de segmentos orientados en las tres dimensiones posibles, un esqueleto que a pesar de estar compuesto por infinitas piezas, estas poseen un “espesor” que tiende a cero con cada iteración, lo que hace de la esponja de Menger un objeto con un volumen nulo y una superficie infinita. CARA 1 La alfombra de menger es un fractal -un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo divide en otros 9, iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el número de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, eso es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales.
CARA  2             Rectángulo áureo. Aparece en las celosías de la Alhambra -          Si en un rectángulo áureo dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto nos da el número de oro (ф)  a/b = phi= 1, 6180339… -          Si dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.   Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:  A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803.... El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.  En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. [Puedes visitar el Taller Hombre de Vitrubio presente en estas Jornadas]  Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande. Puedes comprobarlo con el DNI, por ejemplo. Los antiguos griegos creían que phi era mágico porque aparecía en formas que consideraban sagradas. En una estrella de cinco puntas, por ejemplo, la proporción entre las líneas largas y cortas es exactamente phi. Leonardo da  Vinci y otros artistas de la Europa medieval estaban fascinados por las matemáticas. Creían que las formas que contenían phi presentaban las proporciones visuales más hermosas, y por eso las incluían en sus cuadros. Los arquitectos de la antigua Grecia utilizaban también phi en sus edificios. ARA 3  Números cuadrados Cuando multiplicas un número consigo mismo, el resultado es el cuadrado de ese número. Lo llamamos cuadrado porque se puede colocar ese número de objetos de forma de cuadrada. La serie de cuadrados es una de las más importantes de las matemáticas. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 … Observa que la diferencia entre dos números cuadrados consecutivos  coincide con el patrón de las fichas negras 1, 5, 7, 9… Al hallar el cuadrado de números compuestos únicamente de unos, puedes hacer que aparezcan los otros dígitos. Y lo que es todavía más extraño, aparecen números que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (números palíndromos) [Si puedes acércate por el taller de matemáticas Ingenio 3 “Ambigrama” presente en estas Jornadas). 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 12345667654321 CARA 4 Pasillo descendente Gracias a la geometría hiperbólica puede observarse cómo en la medida que un punto se aleja del centro, el punto es cada vez más pequeño, lo que nos permite abarcar el infinito en un perímetro de tamaño limitado. Todo va disminuyendo de tamaño al aproximarse al borde del mundo y haciéndose cada vez más grande al ir alejándose de él. CARA 5 Pasillo ascendente Gracias a la geometría hiperbólica puede observarse cómo en la medida que un punto se aleja del centro, el punto es cada vez más pequeño, lo que nos permite abarcar el infinito en un perímetro de tamaño limitado. Todo va disminuyendo de tamaño al aproximarse al borde del mundo y haciéndose cada vez más grande al ir alejándose de él. CARA 6 Circunferencia Si dibujas 3 puntos en una circunferencia y los unes con líneas rectas, se obtienen 3 segmentos. 4 puntos unidos, exigen 6 segmentos, mientras que 6 puntos necesitan 15 . ¿Cuántos  segmentos unen a 8 puntos? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 Y = [n · (n-1)] / 2