VIII-Jornadas de las Ciencias-2017-Duplicación del cubo

MONITOR 1: En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la tifoidea que plagaba la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber cómo poder detener la epidemia.

MONITOR 2: La respuesta a la consulta del Oráculo es que, para deshacerse de la plaga, debían construir un altar del doble del que había. sus artesanos rápidamente duplicaron cada lado del oráculo y quedaron desconcertados en sus esfuerzos. Esto claramente era un error, ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho

MONITOR 1: La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.

MONITOR 2: Con el tiempo fueron a preguntarle al respecto a Platón, quien respondió que el oráculo quería decir no que el dios quisiera un altar de doble tamaño, sino que deseaba, al imponerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio por la geometría.

MONITOR 2: En los numerosos intentos por resolverlo, se idearon instrumentos mecánicos como el “pie de zapatero” de Arístocles (Platón) o el Mesolabio de Eratóstenes.

MONITOR 1: “El pie de zapatero” es un instrumento mecánico formado por dos reglas paralelas, una regla fija y una móvil. Esta última se puede deslizar paralelamente a la regla fija, entre dos soportes fijos perpendiculares a la recta fija.

MONITOR 2: El principio de uso de este instrumento, para determinar las dos medias proporcionales entre la medida de la arista del cubo original a y un segmento de medida 2ª, es el siguiente:  Construir la figura formada por dos rectas perpendiculares entre sí, en la que se encuentran el segmento OA de medida a, y el segmento OB, tal que OB = 2 OA.

 

[Pié de zapatero. Permite calcular la arista del cubo que tendrá el doble del volumen del cubo original. Para ello se dibujan dos segmentos perpendiculares a y b, a con la medida de la arista del cubo inicial y b el doble de a.

Se encuadran con el pie de zapatero ambas líneas de forma que el vértice F del pie de zapatero sea la prolongación de a y el vértice E del pie de zapatero sea la prolongación de b. Encuadrados, la distancia OE, será la longitud de la arista del cubo de volumen doble al inicial].

MONITOR 1: Colocar este instrumento encima de la figura ajustándolo cuidadosamente, como en la figura. Así, se resuelve mecánicamente el problema comentado. En efecto, en el triángulo rectángulo AEF en E, se obtiene la relación OA/OE =OE/OF, y en el triángulo rectángulo EFB en F, la relación OE/OF=OF/OB. Luego, OA/OE =OE/OF=OF/OB.

OE² = 0A · OF; OF= (OB · OA) / OE;

OE² ·OE = 0A · (OB·OA);  OE³ = 0A² · OB;

De esta última se obtiene OE³ = 2 OA³, relación que expresa que, un cubo de arista OE tendrá el doble del volumen de un cubo de arista OA.

MONITOR 2: Otra solución para resolver mecánicamente viene de la mano de Eratóstenes, mediante el uso en un aparato mecánico de forma reiterada el teorema de Thales. Mesolabio reconstruido en función de las indicaciones de Zarlino, construido en una tabla con dos listones a forma de canales, para desplazar sobre ellos las láminas de metal con dibujos de su diagonal y hemos colocado a la derecha una regla métrica para cuando coloquemos las marcas.

Está compuesto de una plancha rectangular rígida ABCD y cuatro rectángulos

congruentes EFGH, IJKL, MNOP y PQRS. Los rectángulos se pueden deslizar a lo largo del rectángulo ABCD

El aparejo permite resolver de manera mecánica el problema de insertar dos medias proporcionales entre dos segmentos designados como TH y WS, TH es doble de longitud que WS; WS es la longitud de la arista del cubo conocido.
Consta de cuatro regletas rectangulares iguales EFGH, IJKL, MNÑO y PQRS: la primera se desliza sobre la segunda, la segunda sobre la tercera; y ésta sobre la cuarta. Un hilo tenso (mediante un peso en un extremo) hace una enfilada que conecta los puntos T y W e interseca las diagonales MO y PS respectivamente en U y V. Los segmentos UL y VQ así obtenidos satisfacen la relación: DA:FC=FC:GC’=GC’:C”E.

Cuestiones de la Guía Didáctica:

1.     ¿Es posible que 2 figuras con el mismo perímetro tengan diferentes áreas?

2.     ¿Cómo se llaman los polígonos que tienen la particularidad de ser curvas de anchura constante?

3.     El problema Deliano de la duplicación del cubo surge en el año 420 a. C., ¿puedes resumir en qué consiste?

Soluciones:

a) Sí es posible, el perímetro y el área son dos magnitudes distintas que dependen de la forme del polígono, pero no son directamente proporcionales para cada figura, toma este ejemplo un cuadrado de 4 metros de lado tiene un perímetro de 16 m. y un área de 16 m²; un rectángulo de 2 X 6, tiene un perímetro de 16 m. pero un área de 12 m².

b) Polígonos de Reuleaux

c) Oráculo de Delos