JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Teorema de la alfombra

EXPLICACIÓN DE LA EXPERIENCIA:

En un bol blanco tienes 2000 alubias blancas y en otro bol, rojo, unas 3000 alubias rojas. Del bol de las alubias blancas pasas al bol de las alubias rojas 50 alubias.

Revuelves bien revueltas las alubias del bol rojo, sacas 50 alubias, sin mirarlas, y las metes en el bol blanco. Revuelves las alubias del bol blanco, Repites la operación: del bol blanco pasas ahora al rojo 100 alubias, revuelves y sacas del rojo 100 alubias también, que pasas al blanco, Repites por tercera vez, con 150 alubias.

Pregunta: ¿Hay al final más alubias blancas en el bol rojo que alubias rojas en el bol blanco o al revés?

PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA:

Para empezar, seguro que se te habrá ocurrido simplificar un poco el problema (recuerda: empezar por lo fácil  hace fácil lo difícil), trata de ver lo que pasa después de una sola operación e, incluso, podrías hacerlo aún más sencillo si en lugar de sacar tantas alubias, 50 es un número muy grande, sacaras menos, por ejemplo, diez..

ACTIVIDADES PROPUESTAS AL ALUMNADO:

Realizar la experiencia trasvasando alubias de un bol a otro y tomando nota de cada una de las experiencias, hasta en tanto se concluya la solución. Si no llegas inmediatamente: no te apures; su búsqueda, a veces, nos ronda durante años.

Aplicar el teorema de la Alfombra:

Teorema 1: Si colocamos una alfombra sobre otra de igual área, las superficies

que no se superponen en cada alfombra son iguales.

Teorema 2: Si dos alfombras cubren cierto piso y se mueven llevando una sobre parte de la otra, la superficie superpuesta es igual a la suma de las superficies que no cubre ninguna de las dos alfombras.

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Ambigrama

La simetría de las letras y las palabras

MONITOR 1.-

“Isaac ataca así”

Esta frase es lo que se llama un palíndromo, es decir, una palabra o conjunto de palabras que pueden leerse tanto al derecho como al revés. 

Hay nombres palindrómicos como Ana, frases enteras como la anterior e incluso más largas como

“En  casa me da, además, acné”

“Dábale arroz a la zorra el abad”

Y también algunas que desprenden un curioso aroma de autorreferencia:

“Sé verla al revés”

También se les llama palabras o frases simétricas, aunque se trata de un tipo de simetría un tanto especial.

MONITOR2.-  Algo muy diferente a lo que sucede con los ambigramas, en los cuales sí se dan auténticas simetrías. Ambigrama es la castellanización que se ha hecho de la palabra anglosajona ambigram.
La palabra AMA, por ejemplo se considera ambigramática porque presenta simetría axial respecto a un eje vertical que divide la palabra M en dos partes iguales, lo que permite leerla si se sitúa ante un espejo. Decimos que una figura plana tiene simetría axial cuando podemos trazar una recta (llamada eje de simetría) que divida en dos partes la figura, de manera que si plegamos el plano por ese eje las dos partes coinciden. Observa que una parte "se refleja" en el eje para formar la otra, como si el eje actuase de espejo.
  La palabra OSO, en cambio, tiene simetría central y puede leerse si se gira 180º. La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde: a la misma distancia del punto central, pero en la dirección contraria.

La palabra COCO es otro tipo diferente de ambigrama, pues presenta simetría axial respecto a un eje horizontal y puede leerse igualmente si se gira y además se coloca ante un  espejo.

MONITOR1.-Una marca inglesa de chocolatinas lleva inscrito su nombre, Dandy’s choice, en la parte superior de la caja. Resulta sorprendente que cuando la caja se coloca de canto sobre una superficie reflectante, un espejo o una superficie pulida, la palabra CHOICE, puede leerse perfectamente, pero no así la palabra Dandy’s. Y es que la primera es un ambigrama, mientras que la segunda no.

Con las letras que poseen simetría axial respecto al eje vertical que las divide en dos se pueden conseguir extraños efectos visuales. En el alfabeto castellano las letras con esta característica son:

A H I M O T U V W X Y

Observa como la palabra YAMAMOTO parece flotar en el aire cuando se consigue hacer girar la varilla a la velocidad y luz adecuadas

 

[Juegos de ingenio 15. RBA Fabbri]

JC - V-Jornadas de las Ciencias.2014-Cubo de Sierpinski

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. EXPLICACIÓN DE LA EXPERIENCIA: En el cubo fractal aparecen figuras de una complejidad infinita. Por mucho que aumentemos la figura de cada cara, siguen existiendo detalles que recuerdan a la forma total. Fractal deriva del latín “fractus”, roto, creado con fragmentos. Algunos objetos fractales aparecen en los esquemas del flujo sanguíneo, de los pulmones, de los riñones, en la coliflor, en el brócoli, en diseños trabajados por ordenador, etc. Las seis caras del cubo nos introducen en objetos semi-geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas, por mucho que nos acerquemos o nos alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura, seremos incapaces de afirmar la distancia a la que nos encontramos de él.          PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA: · Observar cada una de las caras del cubo de forma que seamos capaces de descubrir con una pequeña porción del objeto se es capaz de reproducirlo todo. · Averigua el objeto fractal de cada una de las caras Adéntrate:                     D I M E N S I Ó N   F R A C T A L   Esponja de Menger: La llamada “esponja de Menger” es un fractal cuyo proceso de construcción parte de un cubo, eliminando a cada paso cubos menores siempre del mismo modo. Presenta la curiosa propiedad de tener una superficie infinita y un volumen cero; no tiene interior ni exterior. Este maravilloso queso está tan agujereado que no alcanza a tener tres dimensiones. En la actualidad se fabrican antenas fractales basadas en este asombroso objeto. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo divide en otros 9, iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el número de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, eso es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales. ¿Cómo puede ser que a partir de una figura de 3 dimensiones como es un cubo obtengamos un “monstruo” de dimensión ligeramente menor? El secreto se encuentra en el infinito. En efecto, si solo repitiésemos el proceso de construcción de la esponja un número finito de veces, seguiríamos teniendo una cantidad finita de cubos. Pero al aplicar indefinidamente el mecanismo propuesto por Menger obtenemos el cubo inicial horadado una y otra vez por una “red de tubos prismáticos de sección cuadrada” cada vez más pequeños, que conforman una red interna similar a la que conforman nuestros capilares, venas y arterias, pero infinitamente más compleja. Lo que era un cubo se ha convertido en una colección de segmentos orientados en las tres dimensiones posibles, un esqueleto que a pesar de estar compuesto por infinitas piezas, estas poseen un “espesor” que tiende a cero con cada iteración, lo que hace de la esponja de Menger un objeto con un volumen nulo y una superficie infinita. CARA 1 La alfombra de menger es un fractal -un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Para obtener una alfombra de estas, se parte de un cuadrado y se lo divide en otros 9, iguales (3 a lo ancho por 3 a lo largo) y se elimina el del centro. Luego, se repite el proceso con los 8 restantes, una y otra vez. El resultado final es una superficie repleta de agujeros de diferentes tamaños, con una superficie que tiende a cero a medida que aumenta el número de iteraciones. ¿Cómo puede una figura bidimensional tener una superficie nula? Bien, eso es justamente uno de los aspectos más atractivos de los fractales.
CARA  2             Rectángulo áureo. Aparece en las celosías de la Alhambra -          Si en un rectángulo áureo dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto nos da el número de oro (ф)  a/b = phi= 1, 6180339… -          Si dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.   Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:  A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803.... El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.  En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. [Puedes visitar el Taller Hombre de Vitrubio presente en estas Jornadas]  Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande. Puedes comprobarlo con el DNI, por ejemplo. Los antiguos griegos creían que phi era mágico porque aparecía en formas que consideraban sagradas. En una estrella de cinco puntas, por ejemplo, la proporción entre las líneas largas y cortas es exactamente phi. Leonardo da  Vinci y otros artistas de la Europa medieval estaban fascinados por las matemáticas. Creían que las formas que contenían phi presentaban las proporciones visuales más hermosas, y por eso las incluían en sus cuadros. Los arquitectos de la antigua Grecia utilizaban también phi en sus edificios. ARA 3  Números cuadrados Cuando multiplicas un número consigo mismo, el resultado es el cuadrado de ese número. Lo llamamos cuadrado porque se puede colocar ese número de objetos de forma de cuadrada. La serie de cuadrados es una de las más importantes de las matemáticas. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 … Observa que la diferencia entre dos números cuadrados consecutivos  coincide con el patrón de las fichas negras 1, 5, 7, 9… Al hallar el cuadrado de números compuestos únicamente de unos, puedes hacer que aparezcan los otros dígitos. Y lo que es todavía más extraño, aparecen números que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (números palíndromos) [Si puedes acércate por el taller de matemáticas Ingenio 3 “Ambigrama” presente en estas Jornadas). 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 12345667654321 CARA 4 Pasillo descendente Gracias a la geometría hiperbólica puede observarse cómo en la medida que un punto se aleja del centro, el punto es cada vez más pequeño, lo que nos permite abarcar el infinito en un perímetro de tamaño limitado. Todo va disminuyendo de tamaño al aproximarse al borde del mundo y haciéndose cada vez más grande al ir alejándose de él. CARA 5 Pasillo ascendente Gracias a la geometría hiperbólica puede observarse cómo en la medida que un punto se aleja del centro, el punto es cada vez más pequeño, lo que nos permite abarcar el infinito en un perímetro de tamaño limitado. Todo va disminuyendo de tamaño al aproximarse al borde del mundo y haciéndose cada vez más grande al ir alejándose de él. CARA 6 Circunferencia Si dibujas 3 puntos en una circunferencia y los unes con líneas rectas, se obtienen 3 segmentos. 4 puntos unidos, exigen 6 segmentos, mientras que 6 puntos necesitan 15 . ¿Cuántos  segmentos unen a 8 puntos? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 Y = [n · (n-1)] / 2

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Rectángulo_Cuadrrado

EXPLICACIÓN DE LA EXPERIENCIA:

Mostramos un cuadrado y un rectángulo que tienen áreas distintas a pesar de estar formados con las mismas piezas.

La característica de estas figuras es que los números utilizados forman parte de la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …

Una de las muchas propiedades de esta famosa sucesión es que el cuadrado de un término es igual al producto del anterior y el posterior más o menos una unidad, según que el término ocupe lugar par impar, respectivamente. Este resultado se llama identidad de Simson.

        

 2² = 4; 1 * 3 = 3 + 1 = 4;

3² = 9;  2 * 5 = 10 – 1 = 9

        

PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA:

· Montar los puzles, uno con forma de cuadrado y otro de rectángulo.

· Observar que el lado del cuadrado es 8 y los del rectángulo son 5 y 13 por lo que el área del cuadrado es una unidad menor. Si se emplea un cuadrado de lado 13 y un rectángulo de lados 8 y 21, el área del cuadrado es una unidad menor.

· La paradoja se aclara gracias a la pendiente. Permite afianzar la idea básica de que la pendiente es la característica propia de una recta y es independiente de los puntos que se elijan para calcularla.

La exploración de la pendiente de la diagonal lleva a la conclusión de que no es recta y por tanto la figura no es un rectángulo.

 

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Peces en la laguna

¿Cuántos peces hay en una laguna?

¿Cuántos granos de judías hay en un kilogramo?

¿Sabes que…?

Existen técnicas “ingeniosas” que permiten estimar valores que parecen imposibles de conocer.

Es importante conocer la calidad de la estimación realizada y sin grandes conocimientos matemáticos se puede estudiar por simulación.

Debemos procurar que estas “técnicas ingeniosas” no tengan puntos débiles que nos lleven a estimaciones muy alejadas de la realidad.

           

PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA:

· Proponemos cargar la paleta de balines en la bandeja 1 (color A) y echarlos en la bandeja 2 (color B). Se revuelven bien los balines de la bandeja 2. Se introduce nuevamente la paleta en la bandeja 2 y se cuentan los balines de color A.

Otrosí:

· Capturar M peces y marcarlos. Se devuelven nuevamente al agua

· Se deja pasar un tiempo para que los peces marcados se dispersen por la laguna

· Se capturan otros C peces, de los cuales R aparecen marcados.

· Si N es el número total de peces, es razonable considerar que la proporción M/N, (total de peces marcados respecto al total de peces del lago) será parecida a R/C (peces que aparecen marcados en la segunda captura respecto al número de peces capturados).

      N = M · C / R

· Si se utiliza la paleta los cálculos quedan reducidos a N = 100 · 100 / R (peces marcados que aparecen en la segunda captura).

=  Obviamente no se trata de un método exacto, pero permite tener un valor útil a efectos prácticos y que se puede obtener con un esfuerzo razonable, más si la laguna es grande y las aguas turbias, sin tener que vaciar la laguna o pescar todos los peces como propondría, bien seguro, más de un alumno.

[Suma ⁺ 74, Noviembre 2013]

MONITOR 1

Contar cuántos peces hay en un lago no parece una tarea fácil, especialmente si es grande y de aguas turbias, pero los biólogos saben cómo hacerlo. Utilizando técnicas estadísticas, por supuesto.

Un método muy utilizado es el llamado  de “pesca y repesca” (o en general de “captura-recaptura”, porque no sólo sirve para peces). El procedimiento os lo indica ahora mi compañer@:

MONITOR 2

Primero: Pescar una muestra de peces, marcarlos y devolverlos al agua.

Naturalmente esto no se puede hacer de cualquier manera. La pesca hay que realizarla de forma que no se lastime a los peces. Existen técnicas como el uso controlado de descargas eléctricas que los aturden el tiempo suficiente para cogerlos y marcarlos.

La marca no debe perjudicar la movilidad ni la supervivencia del pez y también es necesario que perdure al menos hasta la repesca.

MONITOR 1

Segundo: Dejar pasar un tiempo (puede ser unos días) hasta que sea razonable considerar que los peces marcados se han dispersado por todo el lago, y volver a pescar otra muestra (la “repesca”) de un número que no necesariamente debe ser igual a la pesca.

(Si es el mismo número, puede que resulte más fácil el cálculo, ya que habrá que calcular el cuadrado de los “pesca”, puesto que “pesca” y “repesca” son el mismo número)

MONITOR 2

Tercero:  Hacer los cálculos: Si en el lago hay N peces y se marcan M, la proporción de peces marcados es M/N. En la repesca se capturan C peces, que pueden considerarse como una muestra representativa de todos los peces del lago, y entre ellos se encuentran R marcados. Es razonable considerar que la proporción de peces marcados en la segunda muestra es similar a la proporción de peces marcados en el lago, es decir:

De forma que una estimación del número de peces que hay en el lago es:

Los Peces de la Laguna (N) = Peces de pesca (Marcados) x Peces de la repesca (C )

                                                      (R ) Número de peces marcados en repesca

Los Peces de la Laguna = Número de peces de la pesca X Número de peces de la repesca

                                                  Número de peces marcados que aparecen en la repesca

Los Peces de la Laguna = (Número de peces de pesca) ²___ 

                                           Nº peces marcados en la repesca

MONITOR 1

Pero, ¿qué significa “estar en torno a”?  Pues que estamos haciendo una estimación. Es interesante saber cuál es la magnitud del error  que se puede acometer utilizando este método.

Obviamente no se trata de un método exacto, pero permite tener un valor útil a efectos prácticos y que se puede obtener con un esfuerzo razonable, más si la laguna es grande y las aguas turbias, sin tener que vaciar la laguna o pescar todos los peces como propondría, bien seguro, más de un alumno.

Basándonos en hipótesis razonables y argumentos matemáticos, la teoría estadística se encarga de responder a estas preguntas. Así, si simulamos el proceso 10000 veces, obtenemos resultados por encima del valor real, son más frecuentes que los que se dan por defecto. Cuando esto ocurre, se dice que el estimador es “sesgado”, y no apunta bien el valor verdadero del parámetro que se está estimando.

MONITOR 2

La estimación mejora notablemente introduciendo pequeñas correcciones en la fórmula, que nos aporta la Estadística y que nos sobrepasa en esta exposición y que no podemos justificar de forma sencilla

N = (M+1) (C+1)  _ 1

               R + 1 

JC - V-Jornadas de las Ciencas-2014-Juego de ingenio

Los juegos son un tipo de tarea con tradición en la enseñanza de las matemáticas.

Los juegos tienen dos características básicas:

Están sujetos a una serie de reglas o normas que hay que respetar.

Tienen por finalidad ganar.

Por esta razón el Parchís es un juego como lo es el Tetris, y en cambio “ver la tele” no lo es, aunque sea muy divertido.

Los juegos tienen una serie de ventajas para la educación matemática, así

Buscan ganar

Obligan al jugador a elegir de las acciones posibles la mejor, esta elección no siempre es segura ni sencilla y es por esta razón por lo que se habla de estrategia cuando se habla de juegos. Los juegos permiten poner en acción operaciones cognitivas de grado medio y superior y obligan a los aprendices a tomar decisiones de manera autónoma promoviendo de esta manera la creatividad y la iniciativa.

Veamos uno de ellos.

“Dos jugadores lanzan alternativamente un dado y tienen que colocar la cifra resultante en uno de los siguientes huecos, gana el jugador que consigue escribir más cifras.

Supongamos que los valores que dan los dados son: 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 4 y 3. Supongamos que me sitúo en la posición del primer jugador. El primer 2 lo puedo escribir en cualquier lugar porque todos los espacios están huecos. Pero, si lo escribo en la posición de las unidades del número que deber ser igual a múltiplo de 2 ya me aseguro que cualquier que sean los valores que salgan posteriormente los podré poner en las decenas y centenas  de ese número, con lo que me aseguro que pondré escribir dos cifras en las siguientes dos jugadas. Bien, pero eso también sirve para mi compañero de juego. ¿Qué haré, escribiré esa cifra para asegurarme la siguiente tirada o me arriesgo a colocar en otro lugar para forzar a no poner a mi compañero? Supongamos que me decido por lo primero. El segundo jugador tiene que poner un 3 y puede hacerlo donde quiera, aunque no debiera de pensar, porque es erróneo, que ponerlo en el lugar de las cifras del número que deber ser múltiplo de 3 asegura que ese número sea múltiplo de 3, etc.

No podemos entretenernos en estudiar cada una de las jugadas con detenimiento y su valor estratégico, pero todo el razonamiento que hay detrás de cada jugada tiene un alto valor formativo en matemáticas, si se juega bien y porque activa una gran variedad de aprendizajes.

[3² – 2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. 7 Grao. Jesús Mª Goñi Zabala]

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Cálculo rápido de potencias

Cálculo de potencias al cuadrado de números de dos cifras acabados en 5.

Sea la potencia de 25^2 = 25 · 25, se multiplica "la primera" cifra de la base, empezando por la izquierda por su siguiente, es decir "primera cifra por cifra más uno añadiendo al producto resultante el paquete veinticinco", con lo que se procedería en el caso que nos ocupa:
25^2 = 25 · 25 = 2 · 3 = 6 25
35^2= 35 · 35 = 3 · 4 = 12 25
75^2 =75 · 75 = 7 · 8 = 56 25
Intenta seguir el procedimiento inverso, para averiguar alguna potencia de base con dos cifras acabadas en cinco: Raíz cuadrada de 4225 = 65^2

Cálculo de potencias al cuadrado de números de dos cifras del 10 al 20.

Como la diferencia entre 11 ² y 12² es 21, y como se quieren elevar al cuadrado, le sumamos 2 + 21 = 23. Si le sumamos a 121 + 23 = 144, la siguiente a calcular 13², será 144 + (23 + 2)= 169, que es la correspondiente a 13².

Cálculo de potencias al cuadrado de números próximos a 100.

Multiplicamos el último número de la base por el exponente, si el producto es de una cifra la solución empezará por las dos primeras cifras de la base; si el producto fuese de dos cifras, la solución empezará por la primera cifra de la base, a éstas le seguirán la cifra o cifras del producto y le seguirá el resultado de la última cifra de la base elevada al cuadrado, si este resultado fuese de dos cifras en estas acabará la solución y si fuese de una (cifra) el paquete de dos cifras se completará con cero decenas.

(104)^2 = 4  · 2 = 8 --> 108 y 4^2= 16     10816
(104)^2 = (100 + 4)^2 = 100^2 + 4^2+2·100·4= 10000+16+800 = 10816

(106)^2 = 6 · 2 = 12 --> 112 y 6^2= 36     11236
(106)^2= (100+6)^2= 100^2+6^2+2·100·6= 10000+36+1200= 11236

Si es menor de 100, le restamos a la base lo que le falta para llegar a 100 y añadimos el cuadrado de la diferencia.
(  96)^2 =   100-96= 4 96-4 = 92 y 4^2= 9216
(100-4)^2 = 100^2 + 4^2- 2·100·4 = 10000+16-800

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Multiplicación india

Lo que pretendemos es:

Realización de productos con números de una cifra (multiplicando y multiplicador), por quienes tienen serias dificultades con las tablas de multiplicar del seis en adelante, que, por otra parte, son las más difíciles de memorizar.

Composición del tablero:

Primera fila: 10 bolas

Segunda fila: 10 bolas

Tercera fila: 10 bolas

Cuarta fila : 10 bolas

PASOS A REALIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA:

A) Situar en la parte izquierda de  la 1ª fila el número de bolas del multiplicando

B) Situar en la parte izquierda de la 2ª fila el número de bolas del multiplicador

C) Situar en la parte derecha de la 3ª fila el resultado de la suma de las bolas de la parte derecha de las filas 1ª y 2ª; en la parte izquierda se disponen las sobrantes.

D) Situar en la parte izquierda de la 4ª fila el resultado del producto de las bolas situadas en las columnas1ª y 2ª; en la parte derecha de dicha fila las sobrantes. (Si  el producto supera la decena, situar las unidades a la derecha de la fila y el número de decenas añadir a las bolas de la 3ª fila por la izquierda).

E) El resultado de la operación a calcular será el resultado del número de bolas de la 3ª fila por la izquierda (decenas) y las bolas de la izquierda de la 4ª fila (unidades).

N.b.-Sutra de Nickilam. Lionel Henriquez Barrientos.

Por ejemplo:   6 x  8

(x — a) (x — b ) = x (x — a — b ) + a b

JC - V -Jornadas de las Ciencias-2014-Multiplicación romana

Para escribir cualquier número, se pone una sucesión de letras que suma la cantidad exacta, con los dígitos pequeños a la derecha y los grandes a la izquierda. Es sencillo pero los números pueden ser muy largos.

Para escribir 49 necesitas 9 letras:

XXXXVIIII

Para facilitar un poco las cosas, los romanos inventaron una regla que permitía restar una cifra pequeña cuando está a la izquierda de una grande. Así pues, en lugar de escribir IIII para 4, se escribe IV. La gente no siempre seguía la regla e incluso hoy puedes ver el número 4 escrito como IIII en los relojes  (aunque en los relojes también muestran el nueve como IX).

Para multiplicar y dividir, en números romanos eran terribles. Así es como se calcula 123 x 165.

JC - V_Jornadas de las Ciencias-2014-Multiplicación árabe

Este método consiste en construir una cuadrícula en la que se multiplican los números casilla por casilla y después se suman siguiendo las líneas inclinadas.

Han tenido que pasar muchos años para que los hombres encontraran la manera más cómoda para efectuar los cálculos y muchos años para que se pusieran de acuerdo en hacerlo todos de la misma manera.

Realización de la actividad:

Se darán a escoger los números del multiplicando y multiplicador -de las fichas de madera dispuestas en la mesa-, no más grandes de 3 cifras y se colocarán (multiplicando en horizontal CDU, encima del cajetín) y el multiplicador en vertical ( a la derecha del cajetín, escrito de arriba abajo, CDU).

Se dará al calculista un bote con balines, para que conforme vaya multiplicando, empezando por la primera cifra vertical por cada una de las horizontales, de derecha a izquierda vaya poniendo el número de balines que corresponda, las unidades debajo de la subdivisión derecha, las decenas en la subdivisión izquierda. (Ver Ejemplo)

Cuando haya finalizado, sumará todos los balines de cada una de las diagonales e irá indicándolo en el ábaco, en donde recogerá el resultado.

Actividades: Realiza los productos con el “enrejillado”

a)       234 x 345 =

b)      899 x 457 =

[Estrategia. Colección La Llave de “Rosa Sensat” Editorial Onda.]

JC - V-Jornadas de las Ciencias-2014-Triángulo de Sierpinnki con latas de refresco

Desde el mundo de los fractales nos introducimos en el mundo de la geometría plana, hiperbólica y elíptica de la mano de los maestros Euclides, Lobahevski/Bolyai y  Riemann.  

El ejemplo de la carrera de hormigas es una manera habitual de representar las tres tipologías de geometrías e ilustrar de manera clara sus diferencias y afinidades.

Si dos hormigas se desplazan en una superficie perfectamente plana, siguiendo una ruta perfectamente paralela la una de la otra,  en una superficie euclídea, su trayectoria no se acercará ni se separará; ambas mantendrán siempre la misma distancia.

Si la superficie es hiperbólica,  las hormigas se irán separando más y más, porque la curvatura sobre la que se desplazan es convexa.

Si la superficie sobre la que se mueven es una superficie curva, se irán separando o se irán acercando. Si la superficie es esférica, inevitablemente se cruzarán, porque el espacio en el que se mueven no sólo es curvo, sino que además es cóncavo.

2187 paquetes de tres latas casa uno, unidos por 2187 gomas eláticas de caucho, suponen 6561 latas que conforman un triángulo equilatétero de casi 17 metros de lado.